３囚人の問題は、モンティ・ホール・ジレンマとか３ドア問題とか呼ばれる以下の問題と構造的には同型である。
３ドア問題をめぐる議論については、モンティ・ホールで検索してみよ。２ちゃんねるなどでは混乱した議論が見られて愉快である。こちらもちゃんと理解しているわけではないので、見ているうちにこちらも混乱してくるのではあるが。混乱の原因の一つは、[ ]内の仮定が明示されていない場合があることだ。*1司会者が、どのドアが当たりが知らずに、Ｂのドアを開けてたまたまハズレだった場合は、答えは異なる。
３ドア問題 あなたはテレビショーの参加者で、うまくいくと高価な賞品をゲットできるチャンスを与えられている。３つのドアＡ、Ｂ、Ｃがあり、そのうちの一つに賞品（たとえばスポーツカー）が用意され、残り２つがハズレ（たとえばヤギ）である。あなたはその中のドアＡを選んだが、司会者のモンティ・ホールはＢのドアを開けて、Ｂがハズレであったことを示し、Ｃのドアに選びなおすか、それともＡのドアのままでいいのか聞く。「ファイナルアンサー？」というわけだ。Ａのドアのままのほうがいいのか、それともＣのドアに選び直したほうがいいのか。[司会者はどのドアに賞品が入っているのか知っている。また、もしＡのドアが当たりである場合には、１/２の確率でＢかＣかのドアを開ける。Ａのドアがハズレであれば、ＢおよびＣのハズレのドアのほうを開ける。]
■ [今日の2ch]モンティ・ホール問題或いは…については結論は間違っていると思うのだがどうか。いくらなんでも、５/６って答えはないだろう。
ウィキペディアのモンティ・ホール問題の項はよくできている。しかしながら、説明が不十分である。「もともとの選択では、プレイヤーは選んだドアに景品がある可能性を 1/3 しか持っていない；この確率はモンティが羊のドアを開けたとしても変わらない。」とあるが、これはＢのドアが当たりである事前確率とＣのドアが当たりである事前確率が等しいときにしか成立しない。事前確率によっては、選んだドアに景品がある確率（事後確率）は変化しうる。変形３囚人問題がそのことを示している。
■モンティ・ホール・ディレンマとかいろいろの「私なりの解答例」も、同様の理由で不正確である。私もまったく同様の誤解をしていた。「司会者がハズレの扉を開いているが、各グループの確率は変動していない」ことに関しては、何らかの証明が必要である。ドアをグループ化すると、たとえば以下のような変形３ドア問題に正答することはできない。
変形３ドア問題 あなたはテレビショーの参加者で、うまくいくと高価な賞品をゲットできるチャンスを与えられている。３つのドアＡ、Ｂ、Ｃがあり、そのうちの一つに賞品が用意され、残り２つがハズレである。賞品が当たる確率は、Ａ、Ｂ、Ｃそれぞれが３/７、３/７、１/７である。あなたはその中のドアＡを選んだが、司会者のモンティ・ホールはＢのドアを開けて、Ｂがハズレであったことを示し、Ｃのドアに選びなおすか、それともＡのドアのままでいいのか聞く。Ａのドアのままのほうがいいのか、それともＣのドアに選び直したほうがいいのか。Ｂがハズレであったことが示されたことによって、ドアAの当たりの確率は３/７のままなのか、それとも変わるのか。[司会者はどのドアに賞品が入っているのか知っている。また、もしＡのドアが当たりである場合には、１/２の確率でＢかＣかのドアを開ける。Ａのドアがハズレであれば、ＢおよびＣのハズレのドアのほうを開ける。]
答えは来週にでも。何か異論がある方は、私が本を読んだ記憶が薄れないうちにお願いします。
追記：変形３ドア問題の解答
*1:２ちゃんねるの議論では、参加者がヤギが欲しいのかスポーツカーが欲しいのかが明示されていないことを問題にしていた。参加者がヤギを望むのならばＡのドアを選んだままにしておくべきだ。
