ジャガイモのパラドクス
「ジャガイモのパラドクス」は直感に反する数学の問題の一つです*1。Wikipediaから引用し、和訳しました。計算すれば答えは出ますが、まずは直感で考えてみてください。
フレッドは100kgのジャガイモを家に持ち帰りました。このジャガイモは、99%が水分で構成されています。彼はそれを一晩外に置いておき、水分が98%になるまで乾かしました。このとき、乾かしたジャガイモの重さはどれくらいになるでしょうか？
実際のジャガイモの水分含有率は80％ぐらいだそうです。99％が水分とはずいぶんとみずみずしいジャガイモですが、「純粋に数学的なジャガイモ」だとみなしてください。あるいは、もっと水分含有量の多い別の食べ物に置き換えていただいてもかまいません。考え方の本質には影響しません。
答えは下のほうに。
計算自体は簡単です。100kgのジャガイモのうち、水分は99％ですので、固形部分は1％、つまり1kgです。乾かしたジャガイモの水分は98％、固形部分は2％になります。乾かしたジャガイモの重さをX kgとすると、X kg× 0.02 = 1 kgとなり、X = 1 ÷ 0.02 = 50 、50 kgとなります。
みなさん、計算結果は直感と反しましたか？水分はたった1％しか減っていないのに、全体の重さが50％も減るというのが直感に反するのだそうです。正直に言いますと、私は直感と反するとは感じられませんでした。似た問題をすでに知っていたからでしょう。
甲状腺がんの過剰診断のパラドクス
その問題とは、甲状腺がんにおける過剰診断の割合についてです。甲状腺がんは進行が遅く、治療をしなくても一生涯症状が出ない「過剰診断」が多いことが知られています。超音波検査等で発見された甲状腺腫瘤を片っ端から精密検査すると、多くの過剰診断が生じます。そこで、腫瘤径が小さく悪性を疑う所見を認めない場合は、精密検査をしないといった方針が現在では採用されています。この新しい診断方針で過剰診断は減ります。しかし、それでもなお、甲状腺がんと診断された人における過剰診断の割合がかなり高いままということがありうるのです。
直感的にはわかりにくく感じる人もいるようです。ジャガイモの場合と同じく、具体的な数字で考えてみれば、直感と計算結果が食い違うことがよりわかりやすくなるでしょう。
ある集団に対し甲状腺検査を行うと古い基準では100人の甲状腺がんが発見され、うち99％が過剰診断です。腫瘤径が小さく悪性を疑う所見を認めない腫瘤を除外するという新しい診断方針では、甲状腺がんと診断される人は50人に減りました。除外された50人すべて過剰診断だと仮定すると、甲状腺がんと診断された50人のうち、過剰診断の割合は何％になりますか？
甲状腺がんと診断される人が半分になったのだから、過剰診断の割合も99％から49.5％に半減した、なんて間違える人はいないことを願います。古い基準で甲状腺がんと診断された100人のうち過剰診断ではない人は1人です。新しい診断方針では甲状腺がんと診断される人は50人ですから、過剰診断の割合は(50-1) ÷ 50 = 98％です。甲状腺がんと診断される人を半分に減らしたのに、過剰診断の割合は1％しか減っていないのは直感に反すると感じる人もいるでしょう。
古い基準で診断された甲状腺がんのうちの過剰診断の割合や、新しい診断方針で除外できる人数は仮の数字を当てています。現実の甲状腺がんではどうでしょうか。たとえば、韓国の甲状腺がんにおいては、90～95％が過剰診断だったという推計があります*2。これは、症状を呈して診断される人も分母に含んでいますので、「無症状で検査を受けて甲状腺がんと診断された人における過剰診断の割合」はもっと高いはずですが、大雑把な推計には使えます。
新しい診断方針で甲状腺がんと診断されない人の割合は数十％はあります。これもいろいろ報告はありますが、たとえば、2000～2009年にソウル国立大学病院で手術を受けた甲状腺乳頭がんのうち、腫瘍径1 cm以下は約43％、リンパ節転移がない症例は約56％、甲状腺外進展がない症例は約45％でした*3。腫瘍径1 cm以下でリンパ節転移も甲状腺外進展もなければ、新しい診断方針では甲状腺がんと診断されない可能性が高いです。実際の臨床データに基づくと、新しい診断方針によって、おおむね、ざっと診断数を半分ぐらいにできたと考えられます。
さて、古い基準で90％が過剰診断、新しい診断方針で全体の診断数を半分にできたとして、過剰診断の割合はどれぐらいになりますか？45％ではないですよ。そう、80％です。細かい数字に納得できない人もいらっしゃるでしょうが、少なくとも割合の計算ができる人は、新しい診断方針で過剰診断は減るが、それでもなお、甲状腺がんと診断された人における過剰診断の割合がかなり高いままということがありうることには同意できるでしょう。
診断方針を、たとえば「腫瘤径1 cm以下は精査しない」から「腫瘤径2 cm以下は精査しない」に変更すれば、さらに過剰診断は減らせますが、今度は精査をしなかった集団から、将来、症状が生じる甲状腺がんが出てくる恐れがあります。現在の基準は「症状が生じる甲状腺がんにはほぼならないであろう」というものだけを除外する厳しい基準ですので、「おおむね大丈夫だろうけど症状が生じる甲状腺がんになるかもしれない」ぐらいの結節は精密検査されます。
乳がんや肺がんですら、検診で発見されたがんの15～30％は過剰診断です。無症状の集団を対象に甲状腺がんの検査をして、過剰診断がほとんど起きないなどありえません。「過剰診断はすでに専門家らによって対策済み」という理由で過剰診断はほとんど起きていないという主張は完全な誤りです。診断方針を変えるぐらいで過剰診断をほとんど抑制できるのであれば論文にして発表すべきです。
上記したことを踏まえて、福島県においては、「小児甲状腺がんは成人の甲状腺がんと異なる」という立場に立って過剰診断はほとんど起きていないという主張は論理的には可能です。しかしその場合、成人の甲状腺がんにおける知見を元にした過剰診断対策を小児に適用することの正当性が問われます。加えて、対象者が成人になった以降も甲状腺検査を続けることについての課題も残ります。
応用問題
■【仮タイトル】甲状腺がん - Togetter [トゥギャッター]より引用。
Masato Ida, PhDさんとの議論で出てきた数字です。甲状腺がんの過剰診断の割合は99.7～99.9％という「Welch ら（2010年）が挙げた大雑把な数字」を挙げています。甲状腺がんの人の数が1000人、本当に必要だった手術の数は1～3。診断基準（新しい診断方針）によって960人が手術を避けられ、40人が手術を受けます。さて、診断基準がある場合、手術を受けた人における過剰診断の割合は何％でしょうか？
Togetterのコメント欄でMasato Ida, PhDさんにお尋ねしましたが、お答えをいただけなかった上、ブロックされました。コメント欄を読んでいただければ、私とMasato Ida, PhDさんのどちらが正当なのかほとんどの人は理解できると思います。診断基準によって960人という多くの人が手術を避けることができてもなお手術を受けた人における過剰診断の割合が高いという事実が直感に反するがゆえの行為であると私は考えます。
